Главная
Линейный функционал B ∈ l ∞ ∗ {displaystyle mathrm {mathrm {B} } in l_{infty }^{*}} называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) B ( 1 ) = 1 {displaystyle B(mathbf {1} )=1}
2) B ≥ 0 {displaystyle Bgeq 0} для любых x ≥ 0 {displaystyle xgeq 0}
3) B ( T x ) = B ( x ) {displaystyle B(Tx)=B(x)} для любого x ∈ l ∞ {displaystyle xin l_{infty }} , где T {displaystyle T} — оператор сдвига, действующий следующим образом: T ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = ( x 2 , x 3 , . . . ) {displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)}
Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом. Из определения следует, что ‖ B ‖ l ∞ ∗ = 1 {displaystyle |B|_{l_{infty }^{*}}=1} и B ( x 1 , x 2 , . . . ) = lim n → ∞ x n {displaystyle B(x_{1},x_{2},...)=lim _{n o infty }x_{n}} , если последовательность x 1 , x 2 , . . . {displaystyle x_{1},x_{2},...} сходится. Множество банаховых пределов обозначается как B {displaystyle {mathfrak {B}}} . B {displaystyle {mathfrak {B}}} — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства l ∞ ∗ {displaystyle l_{infty }^{*}} . Из неравенства треугольника следует, что для любых B 1 , B 2 ∈ B {displaystyle B_{1},B_{2}in {mathfrak {B}}} справедливо неравенство ‖ B 1 − B 2 ‖ ≤ 2 {displaystyle |B_{1}-B_{2}|leq 2} . Если B 1 {displaystyle B_{1}} и B 2 {displaystyle B_{2}} являются крайними точками множества B {displaystyle {mathfrak {B}}} , то ‖ B 1 − B 2 ‖ = 2 {displaystyle |B_{1}-B_{2}|=2} .
Лемма 1
Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если B 1 ( x ) ≤ B 2 ( x ) ∀ x ∈ l ∞ x ≥ 0 {displaystyle B_{1}(x)leq B_{2}(x)quad forall xin l_{infty }quad xgeq 0} , то B 1 ( x ) = B 2 ( x ) {displaystyle B_{1}(x)=B_{2}(x)} .
ДоказательствоЕсли B 1 ( u ) ≤ B 2 ( u ) {displaystyle B_{1}(u)leq B_{2}(u)} для какого-то u ∈ l ∞ u ≥ 0 ⇒ ∀ λ > 0 u ≠ 0 B 1 ( λ u ) < B 2 ( λ u ) {displaystyle uin l_{infty }quad ugeq 0quad Rightarrow quad forall lambda >0quad u eq 0quad B_{1}(lambda u)<B_{2}(lambda u)} . Возьмём 0 < λ < 1 ‖ u ‖ ⇒ 0 ≤ λ u ≤ 1 ⇒ 1 − λ u ≥ 0 {displaystyle 0<lambda <{frac {1}{|u|}}quad Rightarrow quad 0leq lambda uleq mathbf {1} quad Rightarrow quad mathbf {1} -lambda ugeq 0} , B 1 ( 1 − λ u ) = 1 − B 1 ( λ u ) > 1 − B 2 ( λ u ) = B 2 ( 1 − λ u ) {displaystyle B_{1}(mathbf {1} -lambda u)=1-B_{1}(lambda u)>1-B_{2}(lambda u)=B_{2}(mathbf {1} -lambda u)}
Получаем противоречие, которое доказывает лемму.
Теорема 1
Функционал f ∈ l ∞ ∗ {displaystyle fin l_{infty }^{*}} можно представить в виде f = B 1 − B 2 {displaystyle f=B_{1}-B_{2}} ( B 1 , B 2 ∈ B {displaystyle B_{1},B_{2}in {mathfrak {B}}} ) тогда и только тогда, когда
Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ‖ f ‖ l ∞ ∗ = 2 {displaystyle |f|_{l_{infty }^{*}}=2} .
ДоказательствоНеобходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал
g = max ( f , 0 ) = sup 0 ≤ u ≤ x f ( u ) g ∈ l ∞ ∗ g ≥ 0 ∀ x ≤ 0 {displaystyle g=max(f,0)=sup _{0leq uleq x}f(u)quad gin l_{infty }^{*}quad ggeq 0quad forall xleq 0}Используя свойства 1.—3. получаем:
g ( 1 ) = sup 0 ≤ u ≤ 1 f ( u ) = sup 0 ≤ u + 1 2 1 ≤ 1 f ( u + 1 2 1 ) = sup − 1 2 1 ≤ u ≤ 1 2 1 ( f ( u ) + 1 2 f ( 1 ) ) = sup | u | ≤ 1 2 1 f ( u ) = 1 2 ‖ f ‖ l ∞ ∗ ≤ 1 {displaystyle g(mathbf {1} )=sup _{0leq uleq mathbf {1} }f(u)=sup _{0leq u+{frac {1}{2}}mathbf {1} leq mathbf {1} }f(u+{frac {1}{2}}mathbf {1} )=sup _{-{frac {1}{2}}mathbf {1} leq uleq {frac {1}{2}}mathbf {1} }(f(u)+{frac {1}{2}}f(mathbf {1} ))=sup _{left|u ight|leq {frac {1}{2}}mathbf {1} }f(u)={frac {1}{2}}|f|_{l_{infty }^{*}}leq 1} Для B ∈ B {displaystyle Bin {mathfrak {B}}} справедливо, что B 1 = g + ( 1 − ‖ f ‖ 2 ) B ≥ 0 B 1 ( T x ) = B 1 ( x ) B 1 ( 1 ) = 1 {displaystyle B_{1}=g+(1-{frac {|f|}{2}})Bgeq 0qquad B_{1}(Tx)=B_{1}(x)qquad B_{1}(mathbf {1} )=1} ,значит B 1 {displaystyle B_{1}} — банахов предел. То же самое верно для функционала B 2 = B 1 − f = g − f + ( 1 − ‖ f ‖ 2 ) B {displaystyle B_{2}=B_{1}-f=g-f+(1-{frac {|f|}{2}})B} . По построению B 1 − B 2 = f {displaystyle B_{1}-B_{2}=f} . Докажем единственность такого представления при ‖ f ‖ = 0 {displaystyle |f|=0} . Пусть f = B 1 − B 2 {displaystyle f=B_{1}-B_{2}} при ‖ f ‖ = 0 {displaystyle |f|=0} .
B 1 = f + B 2 B 2 = f − B 1 {displaystyle B_{1}=f+B_{2}quad B_{2}=f-B_{1}}B 1 ≥ 0 B 1 ≥ 0 ⇒ B 1 ≥ f B 2 ≥ f {displaystyle B_{1}geq 0quad B_{1}geq 0Rightarrow B_{1}geq fquad B_{2}geq f}
B 1 ≥ max ( f , 0 ) B 2 ≥ max ( − f , 0 ) {displaystyle B_{1}geq max(f,0)quad B_{2}geq max(-f,0)}
Выше доказано, что m a x ( f , 0 ) ∈ B {displaystyle max(f,0)in {mathfrak {B}}} , аналогичные рассуждения показывают, что m a x ( − f , 0 ) ∈ B {displaystyle max(-f,0)in {mathfrak {B}}} . По лемме 1 получаем
B 1 = max ( f , 0 ) B 2 = max ( − f , 0 ) {displaystyle B_{1}=max(f,0)quad B_{2}=max(-f,0)}Теорема доказана.
Понятие почти сходимости
Для заданных a ∈ R 1 {displaystyle ain mathbb {R} ^{1}} , x ∈ l ∞ {displaystyle xin l_{infty }} , для любых B ∈ B {displaystyle mathrm {mathrm {B} } in {mathfrak {B}}}
равномерно по m ∈ N {displaystyle min mathbb {N} } . Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом:
lim n → ∞ inf m ∈ N 1 n ∑ k = m + 1 m + n x k ≤ B ( x ) ≤ lim n → ∞ sup m ∈ N 1 n ∑ k = m + 1 m + n x k {displaystyle lim _{n o infty }inf _{min mathbb {N} }{frac {1}{n}}sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}leq B(x)leq lim _{n o infty }sup _{min mathbb {N} }{frac {1}{n}}sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}}Последовательность x ∈ l ∞ {displaystyle xin l_{infty }} называется почти сходящейся к числу a ∈ R 1 {displaystyle ain mathbb {R} ^{1}} , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны a {displaystyle a} . Используется следующее обозначение: L i m x k = a {displaystyle Lim,x_{k}=a} . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение a c {displaystyle ac} . a c {displaystyle ac} — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в l ∞ {displaystyle l_{infty }} . Множество почти сходящихся к числу s {displaystyle s} последовательностей обозначается как a c s {displaystyle ac_{s}} . Ясно, что a c s ⊂ a c {displaystyle ac_{s}subset ac} для любого s {displaystyle s} .
Пример
Последовательность x = ( 1 , 0 , 1 , 0 , . . . ) {displaystyle x=(1,0,1,0,...)} не имеет обычного предела, но L i m x = 1 2 {displaystyle Lim,x={frac {1}{2}}} . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: x k = 1 − x k + 1 {displaystyle x_{k}=1-x_{k+1}} .
L i m x k = L i m ( 1 − x k + 1 ) = 1 − L i m x k + 1 = 1 − L i m x k {displaystyle Lim,x_{k}=Lim,(mathbf {1} -x_{k+1})=1-Lim,x_{k+1}=1-Lim,x_{k}}Также можно будет использовать следующую лемму:
Лемма 2
Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .
Характеристические функции
Системой Радемахера называется последовательность функций
r n ( t ) = sgn sin ( 2 n π t ) n ∈ N t ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle r_{n}(t)=operatorname {sgn} sin(2^{n}pi t)quad nin mathbb {N} quad tin [0,1]}Каждому B ∈ B {displaystyle Bin {mathfrak {B}}} можно поставить в соответствие функцию
f B ( t ) = B ( r n ( t ) ) {displaystyle f_{B}(t)=B(r_{n}(t))}которая называется характеристической функцией банахова предела B {displaystyle B} . f B {displaystyle f_{B}} — комплекснозначная функция.
Теорема 2
Если A , B ∈ B {displaystyle A,Bin {mathfrak {B}}} и f A ( t ) ≤ f B ( t ) {displaystyle f_{A}(t)leq f_{B}(t)} для всех t ∈ ( 0 , 1 ) {displaystyle tin (0,1)} , то A = B {displaystyle A=B} для всех x ∈ l ∞ {displaystyle xin l_{infty }} .
Свойства характеристических функций
Пусть A , B ∈ B {displaystyle A,Bin {mathfrak {B}}} , тогда