Главная
Статьи





06.07.2022


06.07.2022


06.07.2022


06.07.2022


06.07.2022






Кратномасштабный анализ

21.05.2022

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение

При выполнении КМА пространство сигналов L 2 ( R ) {displaystyle L^{2}(mathbb {R} )} представляется в виде системы вложенных подпространств V j ⊂ L 2 ( R ) , j ∈ Z , {displaystyle V_{j}subset L^{2}(mathbb {R} ),jin mathbb {Z} ,} , отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в L 2 ( R ) {displaystyle L^{2}(mathbb {R} )} называется совокупность замкнутых пространств V j ( R ) , j ∈ Z , {displaystyle V_{j}(mathbb {R} ),jin mathbb {Z} ,} если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности: V j ⊂ V j + 1 {displaystyle V_{j}subset V_{j+1}} для всех j ∈ Z {displaystyle jin mathbb {Z} } . Все пространство сигналов L 2 ( R ) {displaystyle L^{2}(mathbb {R} )} в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m {displaystyle m} декомпозиции сигнала; (2) Условие полноты и плотности разбиения: ⋃ j ∈ Z V j {displaystyle igcup limits _{jin mathbb {Z} }V_{j}} плотно в L 2 ( R ) ; {displaystyle L^{2}(mathbb {R} );} (3) Условие ортогональности подпространств: ⋂ j ∈ Z V j = 0 ; {displaystyle igcap limits _{jin mathbb {Z} }V_{j}={0};} (4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций: f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( t + 1 ) ∈ V j ; {displaystyle f(t)in V_{j}Leftrightarrow f(t+1)in V_{j};} (5) Масштабное преобразование любой функции f ( t ) ∈ V j {displaystyle f(t)in V_{j}} по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство: f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( 2 t ) ∈ V j + 1 ; {displaystyle f(t)in V_{j}Leftrightarrow f(2t)in V_{j+1};} f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( t / 2 ) ∈ V j − 1 ; {displaystyle f(t)in V_{j}Leftrightarrow f(t/2)in V_{j-1};} (6) Существует r ( t ) ∈ V 0 {displaystyle r(t)in V_{0}} , целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства V 0 {displaystyle V_{0}} : f 0 , k ( t ) = f ( t − k ) , k ∈ Z . {displaystyle f_{0,k}(t)=f(t-k),kin mathbb {Z} .} Функция r ( t ) {displaystyle r(t)} называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства

Обозначим сдвиги и растяжения функции f : {displaystyle f:} f k , n ( x ) = 2 k / 2 f ( 2 k x + n ) , k , n ∈ Z . {displaystyle f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,nin mathbb {Z} .}

  • Для любого j ∈ Z {displaystyle jin mathbb {Z} } функции φ j , n , n ∈ Z {displaystyle varphi _{j,n},nin mathbb {Z} } образуют ортонормированный базис в V j . {displaystyle V_{j}.}
  • Если f ∈ V j , {displaystyle fin V_{j},} то f ( ⋅ ± 2 − j ) ∈ V j , j ∈ Z {displaystyle f(cdot pm 2^{-j})in V_{j},jin mathbb {Z} } .
  • Функция φ {displaystyle varphi } из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Построение ортогональных базисов всплесков

Пусть { V j } j ∈ Z {displaystyle {V_{j}}_{jin mathbb {Z} }} образуют КМА. Обозначим через W j {displaystyle W_{j}} ортогональное дополнение к V j {displaystyle V_{j}} в пространстве V j + 1 . {displaystyle V_{j+1}.} Тогда пространство V j + 1 {displaystyle V_{j+1}} раскладывается в прямую сумму V j + 1 = V j ⨁ W j . {displaystyle V_{j+1}=V_{j}igoplus W_{j}.} Таким образом, проводя последовательное разложение пространств V j {displaystyle V_{j}} и учитывая условие (3), получим V j + 1 = ⨁ i = − ∞ j W i . {displaystyle V_{j+1}=igoplus limits _{i=-infty }^{j}W_{i}.} А используя условие (2), имеем: L 2 ( R ) = ⨁ j = − ∞ ∞ W j ¯ . {displaystyle L_{2}(mathbb {R} )={overline {igoplus limits _{j=-infty }^{infty }W_{j}}}.}

Таким образом, пространство L 2 ( R ) {displaystyle L_{2}(mathbb {R} )} разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств W j . {displaystyle W_{j}.} Важным является то, что функция φ {displaystyle varphi } порождает другую функцию ψ ∈ W 0 , {displaystyle psi in W_{0},} целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в W 0 . {displaystyle W_{0}.} Построение такой ψ {displaystyle psi } может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Многомерный КМА

В общем случае n − {displaystyle n-} мерного пространства ортонормированный базис образует 2 n − 1 {displaystyle 2^{n}-1} функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их L 2 ( R n ) {displaystyle L^{2}(mathbb {R} ^{n})} пространства, при этом нормировочный множитель равен 2 n m / 2 {displaystyle 2^{nm/2}} .