Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем K {displaystyle mathbb {K} } , с блоками вида

J λ = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 1 ⋯ 0 0 0 0 λ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋱ λ 1 0 0 0 ⋯ 0 λ ) . {displaystyle J_{lambda }={egin{pmatrix}lambda &1&0&cdots &0&0&lambda &1&cdots &0&0&0&lambda &ddots &0&0vdots &vdots &ddots &ddots &ddots &vdots &0&0&ddots &lambda &1&0&0&cdots &0&lambda end{pmatrix}}.}

Каждый блок J λ {displaystyle J_{lambda }} называется жордановой клеткой с собственным значением λ {displaystyle lambda } (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы A {displaystyle A} над алгебраически замкнутым полем K {displaystyle mathbb {K} } (например, полем комплексных чисел K = C {displaystyle mathbb {K} =mathbb {C} } ) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица C {displaystyle C} над K {displaystyle mathbb {K} } , такая, что

J = C − 1 A C {displaystyle J=C^{-1}A,C}

является жордановой матрицей. При этом J {displaystyle J} называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A {displaystyle A} . В этом случае также говорят, что жорданова матрица J {displaystyle J} в поле K {displaystyle mathbb {K} } подобна (или сопряжена) данной матрице A {displaystyle A} . И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

A = C J C − 1 {displaystyle A=CJC^{-1}}

матрица A {displaystyle A} подобна в поле K {displaystyle mathbb {K} } матрице J {displaystyle J} . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над K {displaystyle mathbb {K} } в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства

Количество жордановых клеток порядка n {displaystyle n} с собственным значением λ {displaystyle lambda } в жордановой форме матрицы A {displaystyle A} можно вычислить по формуле c n ( λ ) = rank ⁡ ( A − λ I ) n − 1 − 2 rank ⁡ ( A − λ I ) n + rank ⁡ ( A − λ I ) n + 1 , {displaystyle c_{n}(lambda )=operatorname {rank} (A-lambda I)^{n-1}-2operatorname {rank} (A-lambda I)^{n}+operatorname {rank} (A-lambda I)^{n+1},}

где I {displaystyle I} — единичная матрица того же порядка что и A {displaystyle A} , символ rank {displaystyle operatorname {rank} } обозначает ранг матрицы, а rank ⁡ ( A − λ I ) 0 {displaystyle operatorname {rank} (A-lambda I)^{0}} , по определению, равен порядку A {displaystyle A} . Вышеприведённая формула следует из равенства rank ⁡ ( A − λ I ) = rank ⁡ ( J − λ I ) . {displaystyle operatorname {rank} (A-lambda I)=operatorname {rank} (J-lambda I).}

В случае если поле K {displaystyle mathbb {K} } не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица A {displaystyle A} была подобна над K {displaystyle mathbb {K} } некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле K {displaystyle mathbb {K} } содержало все корни характеристического многочлена матрицы A {displaystyle A} .
У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.

Вариации и обобщения

Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: λ 1 , 2 = α ± i β {displaystyle lambda _{1,2}=alpha pm ieta } , где α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } — вещественные числа, β ≠ 0 {displaystyle eta eq 0} . В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок J λ 1 , 2 {displaystyle J_{lambda _{1,2}}} , и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида J λ 1 , 2 {displaystyle J_{lambda _{1,2}}} , отвечающие парам комплексных собственных значений:

J λ 1 , 2 = ( α β 1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 − β α 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 α β 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 − β α 0 1 ⋱ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ α β 1 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ − β α 0 1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 α β 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 − β α ) . {displaystyle J_{lambda _{1,2}}=left({egin{array}{ccccccccccc}alpha &eta &1&0&0&0&cdots &0&0&0&0-eta &alpha &0&1&0&0&cdots &0&0&0&0&0&alpha &eta &1&0&cdots &0&0&0&0&0&-eta &alpha &0&1&ddots &0&0&0&0vdots &vdots &ddots &ddots &ddots &ddots &ddots &vdots &vdots &vdots &vdots vdots &vdots &vdots &ddots &ddots &ddots &ddots &ddots &vdots &vdots &vdots vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &ddots &ddots &ddots &ddots &vdots &vdots &0&0&0&0&0&cdots &alpha &eta &1&0&0&0&0&0&0&cdots &-eta &alpha &0&1&0&0&0&0&0&cdots &0&0&alpha &eta &0&0&0&0&0&cdots &0&0&-eta &alpha end{array}} ight).}

Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем K {displaystyle mathbb {K} } с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов K [ x ] {displaystyle mathbb {K} [x]} (умножение вектора на x {displaystyle x} задаётся как применение линейного оператора).

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.