P-группа

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

• Циклическая группа порядка p n {displaystyle p^{n}} и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю p {displaystyle p} — простейший пример некоммутативной p-группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.

Свойства

• Центр Z ( P ) {displaystyle Z(P)} нетривиальной конечной p-группы P {displaystyle P} является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны.
  • Более того, если H {displaystyle H} нормальная подгруппа в p-группе P {displaystyle P} , то | H ∩ Z ( P ) | > 1 {displaystyle |Hcap Z(P)|>1} .
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
  • Более того любая группа порядка p n {displaystyle p^{n}} является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
• При n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } число неизоморфних групп порядка p n {displaystyle p^{n}} асимптотически равно p 2 27 ⋅ n 3 + O ( n ) {displaystyle p^{{frac {2}{27}}cdot n^{3}+O(n)}} .