Главная
Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.
Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.
Уравнение
Однопараметрическое семейство поверхностей f t : S ↪ M {displaystyle f_{t}colon Shookrightarrow M} является потоком средней кривизны, если
∂ f t ( x ) ∂ t = H t ( x ) ⋅ n ( x ) , {displaystyle {frac {partial f_{t}(x)}{partial t}}=H_{t}(x)cdot n(x),}где H t ( x ) {displaystyle H_{t}(x)} и n ( x ) {displaystyle n(x)} обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности f t ( S ) {displaystyle f_{t}(S)} в точке f t ( x ) {displaystyle f_{t}(x)} .
Свойства
- Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
- В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
- Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
- Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
- Формула монотонности Хуйскена
- Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
- В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.