Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Ландшафтный дизайн
Все про мебель
Сантехника




16.09.2022


15.07.2022


19.05.2022


11.03.2022


04.02.2022











Поток средней кривизны

03.08.2022

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

Уравнение

Однопараметрическое семейство поверхностей f t : S ↪ M {displaystyle f_{t}colon Shookrightarrow M} является потоком средней кривизны, если

∂ f t ( x ) ∂ t = H t ( x ) ⋅ n ( x ) , {displaystyle {frac {partial f_{t}(x)}{partial t}}=H_{t}(x)cdot n(x),}

где H t ( x ) {displaystyle H_{t}(x)} и n ( x ) {displaystyle n(x)} обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности f t ( S ) {displaystyle f_{t}(S)} в точке f t ( x ) {displaystyle f_{t}(x)} .

Свойства

  • Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
    • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
  • Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
  • Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
  • Формула монотонности Хуйскена
  • Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
    • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.