Дифференциальная геометрия поверхностей

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии. Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей является гладкие поверхности вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений. Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что риманова метрика).

История

Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству.

Кривизну поверхностей общего вида изучал Леонард Эйлер; в 1760 году им получено выражение для нормальных кривизн поверхности. В 1771 году он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме, ввёл по­ня­тие на­ло­жи­мо­сти по­верх­но­стей (в современной терминологии изометричные); в частности он рассмотрел по­верх­но­сти, на­ло­жи­мые на плос­кость. Таким образом Эйлер был первым, кто рассматривал внутреннюю геометрию поверхности.

Гаспар Монж рассматривал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях.

Важнейший вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух статьях, написанных в 1825 и 1827 годах. В частности им доказана так называемая Theorema Egregium — исторически важный результат Гаусса, который говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Выделение дифференциальной геометрии в отдельную область исследований часто связывают именно с этой теоремой. Он ввёл понятие первой и второй квадратичных форм. Позже Карл Михайлович Пе­тер­со­н, вывел пол­ную сис­те­му урав­не­ний на квадратичные формы поверхности.

Ключевые результаты во внутренней геометрии поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.

С конца XIX векa, большое внимание уделялось задаче об изометрическом погружении, изгибании поверхностей и задачам жёсткости. Важнейшие результаты были получены Александром Даниловичем Александровым, Давидом Гилбертом, Дмитрием Фёдоровичем Егоровым, Стефаном Кон-Фоссеном и другими.

Методы развитые в дифференциальной геометрии поверхностей сыграли основную роль в развитии римановой и александровской геометрий.

Основные понятия

Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество Σ {displaystyle Sigma } евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без границы), если для любой точки p ∈ Σ {displaystyle pin Sigma } существует окрестность U ∋ p {displaystyle U i p} в Σ {displaystyle Sigma } , которая является графиком z = f ( x , y ) {displaystyle z=f(x,y)} гладкой функции f {displaystyle f} в подходящим образом выбранной системе декартовых координат ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} .

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.

Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.

Большое внимание отводится и другим классам кривых на поверхности, включая геодезические, асимптотические кривые и линии кривизны.

Основные результаты теории относятся к свойствам выпуклых, седловых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей постоянной средней кривизны и в частности минимальных поверхностей.

Конструкции

• Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.

• Трёхгранник Дарбу естественный репер для кривой на поверхности, используется в определении геодезической и нормальной кривизны.

Технические утверждения

• Формула Эйлера позволяет вычислить нормальную кривизну поверхности.

• Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Фундаментальные теоремы

• Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической кривой из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические кривые являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат

• Уравнения Петерсона ― Кодацци дают локальные условия на первую и вторую квадратичные формы поверхности.

• Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхности поверхностью постоянной гауссовой кривизны.

• Формула Гаусса — Бонне — даёт выражение на интеграл гауссовой кривизны по области на поверхности.

• Теорема сравнения Александрова — даёт оценки на углы геодезического треугольника.

Открытые вопросы

• Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евклидово пространство размерности 3. Это так называемая «уравнение Вейля».
  • Результат Якобовича и Позняка даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
  • В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
  • Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гауссовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхности в E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} . Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.

• Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.

• Гипотеза Вилмора. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} , должен быть ограничен снизу величиной 2 π 2 {displaystyle 2pi ^{2}} . Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк Невес.