Евклидово пространство

Евклидово пространство (также эвклидово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n {displaystyle n} -мерное евклидово пространство обычно обозначается E n {displaystyle mathbb {E} ^{n}} ; также часто используется обозначение R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ( ⋅ , ⋅ ) , {displaystyle (cdot ,cdot ),} обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов u , v , w {displaystyle mathbf {u,v,w} } и для любых вещественных чисел a , b {displaystyle a,b} справедливы соотношения ( a u + b v , w ) = a ( u , w ) + b ( v , w ) {displaystyle (amathbf {u} +bmathbf {v} ,mathbf {w} )=amathbf {(u,w)} +bmathbf {(v,w)} } ;
• Симметричность: для любых векторов u , v {displaystyle u,v} верно равенство ( u , v ) = ( v , u ) ; {displaystyle mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}
• Положительная определённость: ( u , u ) ⩾ 0 {displaystyle mathbf {(u,u)} geqslant 0} для любого u , {displaystyle u,} причём ( u , u ) = 0 ⇒ u = 0. {displaystyle mathbf {(u,u)} =0Rightarrow mathbf {u} =0.}

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство R n , {displaystyle mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),} где скалярное произведение определяется формулой ( x , y ) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {displaystyle mathbf {(x,y)} =sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u {displaystyle u} определяется как ( u , u ) {displaystyle {sqrt {mathbf {(u,u)} }}} и обозначается | u | . {displaystyle |mathbf {u} |.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {displaystyle |amathbf {u} |=|a||mathbf {u} |,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами x {displaystyle mathbf {x} } и y {displaystyle mathbf {y} } определяется как arccos ⁡ ( x , y ) | x | | y | . {displaystyle arccos mathbf { frac {(x,y)}{|x||y|}} .} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом π 2 , {displaystyle { frac {pi }{2}},} то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от ( x , y ) | x | | y | {displaystyle mathbf { frac {(x,y)}{|x||y|}} } был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство | ( x , y ) | x | | y | | ⩽ 1. {displaystyle left|mathbf { frac {(x,y)}{|x||y|}} ight|leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: | u + v | ⩽ | u | + | v | . {displaystyle mathbf {|u+v|leqslant |u|+|v|} .} Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d ( x , y ) , {displaystyle dmathbf {(x,y)} ,} или | x − y | , {displaystyle mathbf {|x-y|} ,} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {displaystyle mathbf {x} } и y {displaystyle mathbf {y} } координатного пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 . {displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ( a 1 , a 2 , … , a n ) {displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})} и ( b 1 , b 2 , … , b n ) {displaystyle (b_{1},b_{2},ldots ,b_{n})} в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n . {displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}.} В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, n {displaystyle n} -мерное евклидово пространство изоморфно R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора x {displaystyle x} на подпространство U {displaystyle U} — это вектор h , {displaystyle h,} ортогональный U , {displaystyle U,} такой что x {displaystyle x} представим в виде u + h , {displaystyle u+h,} где u ∈ U . {displaystyle uin U.} Расстояние между концами векторов u {displaystyle u} и x {displaystyle x} является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора x {displaystyle x} до подпространства U . {displaystyle U.} Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ ( y ) = ( x , y ) . {displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор v {displaystyle mathbf {v} } , переводящий точку p {displaystyle mathbf {p} } в точку p + v {displaystyle mathbf {p+v} } . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию Q T Q = E {displaystyle Q^{mathsf {T}}Q=E} , где Q T {displaystyle Q^{mathsf {T}}} — транспонированная матрица, а E {displaystyle E} — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• E 1 {displaystyle mathbb {E^{1}} } размерности 1 {displaystyle 1} (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• E 2 {displaystyle mathbb {E^{2}} } размерности 2 {displaystyle 2} (евклидова плоскость);
• E 3 {displaystyle mathbb {E^{3}} } размерности 3 {displaystyle 3} (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство P n {displaystyle {mathcal {P}}^{n}} вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e − x 2 {displaystyle e^{-x^{2}}} ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.