Главная
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам.
Определение
Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа N > 0 {displaystyle N>0} в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N {displaystyle N} векторов.
Базис
Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.
Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов { e k } {displaystyle left{e_{k} ight}} образует базис Шаудера пространства E {displaystyle E} , если каждый элемент x ∈ E {displaystyle xin E} представим единственным образом в виде сходящегося ряда x = ∑ k = 1 ∞ c k e k {displaystyle x=sum _{k=1}^{infty }c_{k}e_{k}} . Базис Шаудера существует не всегда.
Примеры
- Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций.
- Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел x = ( ξ 1 , . . . , ξ k , . . . ) {displaystyle x=(xi _{1},...,xi _{k},...)} со сходящейся суммой квадратов ∑ n = 1 ∞ ξ n 2 < ∞ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }xi _{n}^{2}<infty } .
- Множество всех многочленов.
- Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.
- Пространство квадратично-суммируемых последовательностей
Свойства
- Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному.