Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Ландшафтный дизайн
Все про мебель
Сантехника




27.11.2022


26.11.2022


23.11.2022


21.11.2022


21.11.2022











Метрика Леви — Прохорова

26.08.2022

Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве P ( M ) {displaystyle {mathcal {P}}(M)} всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве ( M , B ( M ) ) {displaystyle (M,{mathcal {B}}(M))} , где ( M , d ) {displaystyle (M,d)} — метрическое пространство, а B ( M ) {displaystyle {mathcal {B}}(M)} — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества A ⊆ M {displaystyle Asubseteq M} определяется эпсилон-окрестность A {displaystyle A} как:

A ε := { p ∈ M ∣ ∃ q ∈ A ,   d ( p , q ) < ε } = ⋃ p ∈ A B ε ( p ) {displaystyle A^{varepsilon }:={pin Mmid exists qin A, d(p,q)<varepsilon }=igcup _{pin A}B_{varepsilon }(p)} ,

где B ε ( p ) {displaystyle B_{varepsilon }(p)} — открытый шар радиусом ε {displaystyle varepsilon } с центром в p {displaystyle p} . Метрика π : P ( M ) 2 → [ 0 , + ∞ ) {displaystyle pi :{mathcal {P}}(M)^{2} o [0,+infty )} определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами μ {displaystyle mu } и ν {displaystyle u } как:

π ( μ , ν ) := inf { ε > 0 ∣ ∀ ( A ∈ B ( M ) ) μ ( A ) ⩽ ν ( A ε ) + ε   ∧   ν ( A ) ⩽ μ ( A ε ) + ε } {displaystyle pi (mu , u ):=inf left{varepsilon >0mid forall (Ain {mathcal {B}}(M)),mu (A)leqslant u (A^{varepsilon })+varepsilon wedge u (A)leqslant mu (A^{varepsilon })+varepsilon ight}} .

Очевидно, что для вероятностных мер π ( μ , ν ) ⩽ 1 {displaystyle pi (mu , u )leqslant 1} .

Свойства

Если пространство ( M , d ) {displaystyle (M,d)} является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, π {displaystyle pi } — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на P ( M ) {displaystyle {mathcal {P}}(M)} .

Метрическое пространство ( P ( M ) , π ) {displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)} является сепарабельным тогда и только тогда когда ( M , d ) {displaystyle (M,d)} сепарабельно.

Если пространство ( P ( M ) , π ) {displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)} является полным, то ( M , d ) {displaystyle (M,d)} также является полным пространством. Если у всех мер в P ( M ) {displaystyle {mathcal {P}}(M)} есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если ( M , d ) {displaystyle (M,d)} — полное, то ( P ( M ) , π ) {displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)} — полное. В частности, это тот случай, когда ( M , d ) {displaystyle (M,d)} является сепарабельным.

Если ( M , d ) {displaystyle (M,d)} сепарабельное и полное, подмножество K ⊆ P ( M ) {displaystyle {mathcal {K}}subseteq {mathcal {P}}(M)} является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда π {displaystyle pi } -замыкание является π {displaystyle pi } -компактным.

Если ( M , d ) {displaystyle (M,d)} сепарабельное, то π ( μ , ν ) = inf { α ( X , Y ) ∣ Law ( X ) = μ , Law ( Y ) = ν } {displaystyle pi (mu , u )=inf{alpha (X,Y)mid { ext{Law}}(X)=mu ,{ ext{Law}}(Y)= u }} , где α ( X , Y ) = inf { ε > 0 ∣ P ( d ( X , Y ) > ε ) ⩽ ε } {displaystyle alpha (X,Y)=inf{varepsilon >0mid mathbb {P} (d(X,Y)>varepsilon )leqslant varepsilon }} — метрика Ци Фаня.