Главная
Статьи





13.08.2022


13.08.2022


13.08.2022


13.08.2022


13.08.2022






Симплициальный объём

20.01.2022

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия M {displaystyle M} обычно обозначается ‖ M ‖ {displaystyle |M|} .

Определение

Пусть M {displaystyle M} — замкнутое многообразие, тогда

‖ M ‖ = inf ∑ i | r i | {displaystyle |M|=inf sum _{i}|r_{i}|} ,

где r i {displaystyle r_{i}} — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса [ M ] {displaystyle [M]} через сумму сингулярных симплексов.

[ M ] = ∑ i r i Δ i . {displaystyle [M]=sum _{i}r_{i}Delta _{i}.}

Свойства

  • Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
    • Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.
  • Для любых многообразий M {displaystyle M} и N {displaystyle N} той же размерности ‖ M # N ‖ = ‖ M ‖ + ‖ N ‖ {displaystyle |M#N|=|M|+|N|} ,
где # {displaystyle #} обозначает связную сумму.
  • Существуют положительные числа a ( m ) {displaystyle a(m)} и b ( m ) {displaystyle b(m)} такие, что если сумма размерностей dim ⁡ M + dim ⁡ N ⩽ m {displaystyle dim M+dim Nleqslant m} , то a ( m ) ⋅ ‖ M ‖ ⋅ ‖ N ‖ ⩽ ‖ M × N ‖ ⩽ b ( m ) ⋅ ‖ M ‖ ⋅ ‖ N ‖ {displaystyle a(m)cdot |M|cdot |N|leqslant |M imes N|leqslant b(m)cdot |M|cdot |N|} ,
где × {displaystyle imes } обозначает прямое произведение.
  • Для любого отображения f : M → N {displaystyle fcolon M o N} ‖ M ‖ ⩾ | deg ⁡ f | ⋅ ‖ N ‖ , {displaystyle |M|geqslant |deg f|cdot |N|,}
где deg ⁡ f {displaystyle deg f} обозначает степень отображения f {displaystyle f} . В частности:
  • Если многообразие M {displaystyle M} допускает отображение M → M {displaystyle M o M} степени > 1 {displaystyle >1} , то ‖ M ‖ = 0 {displaystyle |M|=0} .
  • Для любого n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} симплициальный объём n {displaystyle n} -мерной сферы равен 0 {displaystyle 0} .
  • Теорема Бессона — Куртуа — Гало. Следующее неравенство n ! ⋅ v o l ⁡ M > ‖ M ‖ {displaystyle n!cdot mathop { m {vol}} M>|M|}
выполняется для произвольного замкнутого n {displaystyle n} -меного риманова пространства M {displaystyle M} с кривизной Риччи не меньше − 1 n − 1 {displaystyle -{ frac {1}{n-1}}} .